funcion decreciente y creciente

Funciones crecientes y decrecientes

Una función f es creciente es un intervalo si para cualquier par de números x₁, x₂ del intervalo x₁ < x₂ è f( x₁) < f( x₂)
Una función es decreciente es un intervalo si para cualquier par de números x₁, x₂ del intervalo, x₁ < x₂ è f( x₁) > f( x₂).

Sea f una función continua con ecuación y = f(x), definida en un intervalo [a, b]. La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo [a, b].

En la gráfica anterior puede observarse que la función f es:

1.) Creciente en los intervalos (a, x₃), (x₅, x₆)

2.) Decreciente en los intervalos ( x_3, x₅), (x₆, b)

Ejemplo 1

Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación.

 f(x) = 1 / 2 (x² – 4x + 1)

Para ello calculemos la primera derivada de  f:f´(x) = x – 2

Como f´(x) > 0 ↔ x – 2 > 0, o sea si x > 2, entonces f es creciente para x > 2.

Como f´(x) < 0 ↔ x – 2 < 0 , o sea si x < 2, entonces f es decreciente para x < 2.

En la gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.

http://www.youtube.com/watch?v=mvj_KLgO_5Q

Ejemplo 2

Determinar los intervalos en que crece o decrece la función f con ecuación.

f(x) = (x + 1) / (x – 1), con x ≠ 1.

La derivada de f es f´(x) = - 2 / (x – 1)²  

Como (x – 1)²   es mayor que cero para x en los Reales, x ≠ 1, y además – 2 < 0 entonces f´(x) < 0para todo x en los Reales (x ≠ 1), por lo que la función f es decreciente para x en los Reales, x ≠ 1 . La siguiente, es la gráfica de dicha función: